Enigme : Le paradoxe du canal

En me promenant près de chez moi, je me suis retrouvé confronté malgré moi à un paradoxe amusant (bon, c'est moi qui trouve ça amusant, si ça ne vous amuse pas tant pis pour vous), et j'ai eu envie de le partager avec vous sous forme d'énigme. Il est probable que ce problème ait déjà été posé sous une autre forme, en tout cas je ne le connaissais pas avant. Cela m'a rappelé une discussion avec Kitai autour de la vidéo de Taupe10 sur les paradoxes, que vous pouvez voir ici si ça vous intéresse :



Voici donc Le paradoxe du canal :

Alors que je me promenais à pied dans la campagne environnante de chez moi, je débouche sur un canal, au niveau d'un pont permettant de le traverser. Je décide de longer le canal. Comme je lui fait face, j'ai deux solutions, partir à ma gauche ou à ma droite. À ma gauche, je vois un panneau qui m'indique que je me trouve à 1,5 km de chez moi. Mais comme j'ai envie de faire durer un peu ma promenade, je décide de partir dans la direction opposée. Je traverse le canal grâce au pont pour me retrouver sur l'autre rive, et prend donc à droite. Je décide de ne faire demi-tour que lorsque je pourrais à nouveau traverser le canal dans l'autre sens. Voici un magnifique schéma pour illustrer la situation :



Je marche un certain temps, jusqu'à arriver à une écluse. Je peux alors retourner sur l'autre rive et faire demi tour, pour aller cette fois en direction de mon domicile. N'ayant toujours pas envie de rentrer trop rapidement chez moi, je commence à réfléchir au trajet qu'il me reste à parcourir. Voici les informations que j'ai en ma possession :



Je connais la distance entre le pont et ma maison, qui est de 1,5 km
En revanche j'ignore la distance entre l'écluse et le pont, mais je sais qu'elle est égale à celle que je viens de parcourir.
Deux cas sont envisageables pour cette distance :
Cas 1 : La distance entre l'écluse et le pont est plus petite que la distance entre le pont et la maison.
Cas 2 : La distance entre l'écluse et le pont est plus grande que la distance entre le pont et la maison.
(pour simplifier on va éliminer la solution ou les deux distances sont égales, ça ne change rien au problème)

Je considère que je me déplace à vitesse constante. Dès lors, voici ce que je me dis :
"Si la distance entre l'écluse et le pont est plus petite que la distance entre le pont et la maison (cas 1) je mettrai plus de temps à rentrer chez moi que dans le cas inverse (cas 2)."

En effet, la durée du trajet restant est égale à la durée du trajet effectué + la durée du trajet entre le pont et la maison. Je ne sais pas en combien de temps je parcours 1,5 km, mais je sais que si la distance Pont-Maison est plus grande que la distance déjà effectuée, alors la durée de cette partie du trajet sera plus longue, allongeant ainsi la durée totale du trajet restant (vous me suivez ?).

En résumé, comme j'ai envie de prendre mon temps sans ralentir mon rythme de marche, je me dit que j'y gagnerai si le trajet après le pont est plus long que le trajet que je viens de parcourir. Autrement dit j'espère être dans le cas 1.

Mais alors, je me dis tout à coup autre chose :
Si la distance entre l'écluse et le pont est inférieure à la distance entre le pont et la maison, alors la distance écluse-pont est inférieure à 1,5 km. La distance totale, quant à elle, se situe donc entre 1,5 et 3 km.

Dans le cas inverse, si la distance écluse-pont est plus grande que la distance pont-maison, alors le trajet restant est supérieur à 3 km. Cette fois, c'est le cas 2 qui semble être le plus long !

Je me retrouve donc face à un paradoxe : comment ais-je pu aboutir à ces deux solutions contradictoires ? Y a-t-il une solution plus pertinente que l'autre et pourquoi ? À vous de trouver la réponse

J'espère que l'énoncé est assez clair (c'est pas gagné, l'énoncé risque de vous faire surchauffer les neurones plus que le problème lui-même), par contre il faudra que je travaille sa concision ! Ah, et pour ceux qui se poseraient la question : oui, ma vie est un enchaînement ininterrompu de questions aussi bizarres qu'inutiles.

valoulef a écrit:

comment ais-je pu aboutir à ces deux solutions contradictoires ? Y a-t-il une solution plus pertinente que l'autre et pourquoi ?

Tu es arrivé à la deuxième solution par un raisonnement juste, tout simplement. Écrivons PEx la distance inconnue entre le Pont et l'Écluse et MPx la distance entre la Maison et le Pont. PE1 et MP1 sont les distances que tu envisages dans le cas 1, PE2 et MP2 sont les distances que tu envisages dans le cas 2. Tu cherches à déterminer si PE1+MP1 < PE2+MP2 ou bien si PE2+MP2 < PE1+MP1. Tu connais déjà la distance Pont-Maison qui est de 1.5. Donc on a MP1 = MP2 = 1.5. Tu envisages le cas 1 où la distance Pont-Écluse est plus petite que la distance Pont-Maison, soit PE1 < MP1. Tu envisages le cas 2 où la distance Pont-Maison est plus petite que la distance Pont-Écluse, soit MP2 < PE2. Puisque MP1 = MP2 = 1.5, on a PE1 < 1.5 < PE2. Il en découle que PE1 + 1.5 < PE2 + 1.5, soit PE1+MP1 < PE2 + MP2.

Dans la première solution, tu envisages toujours le cas 1 où PE1 < MP1 et le cas 2 où MP2 < PE2. Ça, ça ne change pas. Mais la différence c'est que cette fois tu n'envisages plus MP1 = MP2, mais PE1 = PE2. Ainsi, on obtient MP2 < PE2 = PE1 < MP1. Il en découle que MP2 + PE2 < MP1 + PE1.

valoulef a écrit:

Je ne sais pas en combien de temps je parcours 1,5 km, mais je sais que si la distance Pont-Maison est plus grande que la distance déjà effectuée, alors la durée de cette partie du trajet sera plus longue, allongeant ainsi la durée totale du trajet restant (vous me suivez ?).

Cette partie contient une ambiguïté qui permet l'erreur de raisonnement. Ce que tu dis peut se traduire en "Si MPx > PE, alors MPx > MPy [pour MPy < PE], et donc MPx + PE > MPy + PE". La partie entre crochets est implicite. Le conditionnel est vrai, mais tu fais varier MP au lieu de faire varier PE.
Ce que tu dis peut aussi se traduire en "Si MP > PEx, alors MP > PEx et donc MP + PEx > MP + PEy [pour MP < PEy]". La partie soulignée est redondante. Ici tu fais bien varier PE, mais le conditionnel est faux cette fois-ci.
Maintenant à savoir pourquoi, en utilisant "si la distance Pont-Maison est plus grande que la distance déjà effectuée", tu as envisagé que "la distance Pont-Maison" est la partie variable et "la distance déjà effectuée" est la partie constante, je saurais pas te dire. Peut-être le "déjà effectuée" tend à ne pas être utilisé dans les environnements modaux... Les "noms propres" sont compliqués aussi en environnement modal, et il y a une grande littérature passionnante dessus en philosophie.

valoulef a écrit:

oui, ma vie est un enchaînement ininterrompu de questions aussi bizarres qu'inutiles.

Tu as bien de la chance, je me souviens d'un temps pas si lointain où je pensais à plein de choses comme ça en permanence. Mais, bizarrement, les études et le travail ont canalisé mon attention sur des choses spécifiques et un peu tari mon imagination...

Merci de ta participation, aussi attentionnée et rigoureuse que pour un problème de code (ça y ressemble quelque peu d'ailleurs), je n'en attendais pas moins de ta part

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec la réponse que tu propose (en dépit des équations qui me semblent justes) mais ça à certainement aussi à voir avec mon énoncé peut-être un peu confus. Il faudrait en faire une énigme un peu plus propre, peut-être avec une allégorie un peu différente.
À bientôt 5h du matin, je préfère attendre d'avoir les idées claires avant de rebondir précisément sur ta réponse (probablement pas avant lundi du coup) mais compte sur moi .

Je vais juste pointer le fait que tu as bien explicité les différences mathématiques entre les deux solutions, mais il manque l'explication de la cohabitation de ces deux solutions (ça fait beaucoup de "-tion").

Cette "énigme" a vraiment produit un mini WTF dans mon cerveau ; il y a bien un paradoxe intuitif (pas en pratique, même si je l'ai cru au début) et donc une petite subtilité quelque part, au moins dans la façon dont j'ai moi-même perçu le problème.

Kitai a écrit:

Maintenant à savoir pourquoi, en utilisant "si la distance Pont-Maison est plus grande que la distance déjà effectuée", tu as envisagé que "la distance Pont-Maison" est la partie variable et "la distance déjà effectuée" est la partie constante, je saurais pas te dire.

Simple question de rhétorique : si PE < MP, alors MP > PE, dans tout les cas, la variable est bien PE et la constante reste MP... à condition qu'on parle bien de distance

En tout cas tu m'as fait progresser sur mon interprétation mathématique du problème, merci

valoulef a écrit:

Je vais juste pointer le fait que tu as bien explicité les différences mathématiques entre les deux solutions, mais il manque l'explication de la cohabitation de ces deux solutions (ça fait beaucoup de "-tion").

Au risque d'être lourd, je voudrais insister sur le fait que le côté mathématique de mon message n'est là que pour formaliser (et en cela, éclairer) la discussion.
Je vais proposer une explication très légèrement différente de celle du premier message, mais toujours basée sur les tournures comparatives enchâssées sous "si".

1. Si X est plus grand que Y, alors ...
   
2. Si Y est plus petit que X, alors...
   

Ces deux formulations sont à mon avis littéralement synonymes mais typiquement utilisées pour communiquer des alternatives différentes : en (1) on construit typiquement des alternatives en faisant varier la valeur de X et en gardant celle de Y constante, en (2) on construit typiquement des alternatives en faisant varier la valeur de Y et en gardant celle de X constante.

Maintenant, voici ton raisonnement dans la deuxième solution, la bonne (mes italiques, gras et soulignages)

valoulef a écrit:

Si la distance entre l'écluse et le pont est inférieure à la distance entre le pont et la maison, alors la distance écluse-pont est inférieure à 1,5 km. La distance totale, quant à elle, se situe donc entre 1,5 et 3 km.

Tournure similaire à (1), typiquement utilisée pour envisager des alternatives conformes avec ton état de connaissances au moment décrit, c'est-à-dire faisant varier la distance entre l'écluse et le pont. En effet, tu ignores combien de temps tu as mis pour parcourir cette distance, et tu ignores sa longueur. Tu déduis alors tout naturellement la bonne conclusion.

En revanche, voici ton raisonnement dans la première solution que tu proposes (mes italiques, gras et soulignages)

valoulef a écrit:

si la distance Pont-Maison est plus grande que la distance déjà effectuée, alors la durée de cette partie du trajet sera plus longue, allongeant ainsi la durée totale du trajet restant

Tournure similaire à (2), favorisant des alternatives faisant varier la distance entre le pont et la maison (ce qui est confirmé par ton "alors la durée de cette partie du trajet sera plus longue"). Non conforme à ton état de connaissance au moment décrit : tu connais déjà la longueur de cette partie du trajet, il est donc déraisonnable de considérer des alternatives la faisant varier. Tu dis que tu connais la distance que tu mettras pour parcourir le trajet écluse-pont car tu viens de le faire en sens inverse, favorisant ainsi ces alternatives où cette distance est constante. Mais c'est fallacieux, car tu n'as en réalité pas plus d'idée de la distance de ce trajet dans le sens aller que dans le sens retour (car c'est bien la même distance dans les deux cas !). Si tu connaissais cette distance, tu ne te poserais même pas toutes ces questions.

Enfin, voilà la conclusion que tu tires dans la première solution (je suppose que ton message commence par exposer la conclusion de la première solution. Mes italiques, gras et soulignages)

valoulef a écrit:

Dès lors, voici ce que je me dis :
"Si la distance entre l'écluse et le pont est plus petite que la distance entre le pont et la maison (cas 1) je mettrai plus de temps à rentrer chez moi que dans le cas inverse (cas 2)."

Tu reprends la tournure similaire en (1), qui typiquement favorise des alternatives faisant varier la distance entre l'écluse et le pont, et en cela conforme à ton état de connaissances au moment décrit. Seulement, tu en fais un emploi non typique, ce qui m'a d'ailleurs demandé pas mal de relectures pour comprendre la logique de cette phrase, car de prime abord elle me semblait purement fausse. C'est bien l'exposé de la première solution, par la suite, qui m'a aidé à comprendre ce que tu voulais communiquer. Peut-être que ton exposé gagnerait en côté paradoxal si tu mentionnais cette conclusion justement après, comme une transition ni vu ni connu vers la solution 2.

valoulef a écrit:

Kitai a écrit:

Maintenant à savoir pourquoi, en utilisant "si la distance Pont-Maison est plus grande que la distance déjà effectuée", tu as envisagé que "la distance Pont-Maison" est la partie variable et "la distance déjà effectuée" est la partie constante, je saurais pas te dire.

Simple question de rhétorique : si PE < MP, alors MP > PE, dans tout les cas, la variable est bien PE et la constante reste MP... à condition qu'on parle bien de distance

Peut-être que je ne me suis pas exprimé assez clairement dans mon premier message, mais à voir ta réponse et si je ne m'abuse, je pense qu'une partie de mon explication t'a échappé. J'espère que ce que je viens d'écrire explique pourquoi je ne suis pas d'accord avec ta remarque "la variable est bien PE et la constante reste MP". Je pense d'ailleurs que ta remarque appuie vraiment mon propos selon lequel une phrase de la forme "Si X op Y, alors..." est typiquement utilisée pour considérer des alternatives faisant varier X et non Y (même si une telle phrase est littéralement compatible, je pense, avec tous les types d'alternatives).

Au diable la lourdeur, j'en remets une couche (apparemment ton paradoxe me passionne).

Je ne proposerai pas de nouvelle explication ici, juste une reformulation du paradoxe (accompagnée de quelques simplifications) qui m'a permis de mieux cerner l'importance de spéculer sur la durée en plus de la distance (ce que je n'ai pas pris en compte dans mes explications).



Objectif :
Déterminer sous quelle alternative je prendrai le plus de temps pour rentrer.

Je ne sais pas :
- Combien vaut la distance Écluse-Pont
- En combien de temps je parcours la distance Pont-Maison
- À quelle vitesse je marche

Je sais :
- Que la distance Pont-Maison vaut 3km
- Que je parcours la distance Écluse-Pont en 30min
- Que je marche à vitesse constante
- Que la distance Pont-Maison est différente de la distance Écluse-Pont


De deux choses l’une : soit je parcours le trajet Pont-Maison en plus de 30min (i.e en plus de temps que la durée du trajet Écluse-Pont) ; soit je le parcours en moins de 30min.
Dans la première situation, mon trajet total durera plus d’une heure ; dans la deuxième situation mon trajet total durera moins d’une heure.
Comme je marche à vitesse constante, je prendrai donc plus de temps si la distance Pont-Maison est plus grande que la distance Écluse-Pont.

De deux choses l’une : soit la distance Écluse-Pont est supérieure à 3km (i.e. supérieure à la distance Pont-Maison) ; soit la distance Écluse-Pont est inférieure à 3km.
Dans la première situation, la distance totale sera supérieure à 6km ; dans la deuxième situation la distance totale sera inférieure à 6km.
Comme je marche à vitesse constante, je prendrai donc plus de temps si la distance Écluse-Pont est plus grande que la distance Pont-Maison.

Bon, alors après une semaine de procrastination, allons-y gaiement !

Désolé pour les éventuels vices de forme mathématiques ainsi que les possibles fautes ou autres petites erreurs, à l'heure qu'il est je ne me sens pas de me relire sérieusement, mais c'est le raisonnement qui compte, j'espère ne pas avoir été trop confus, j'ai fait ce que je pouvais

Kitai a écrit:

(apparemment ton paradoxe me passionne)

J'ai envie de dire que c'est trop d'honneur, ceci dit plus j'y réfléchit, plus il me passionne aussi. Quand j'ai constaté que le paradoxe était mathématiquement dépassable (avant de le poster) j'ai d'abord été un peu déçu, mais il reste quand même assez cool surtout en se replaçant en condition.

Je ne vais pas rebondir sur ton premier post, les deux autres étant un peu plus clairs et probablement plus justes. D'abord pour revenir sur cette histoire de formulation :

Kitai a écrit:

valoulef a écrit:

   si la distance Pont-Maison est plus grande que la distance déjà effectuée, alors la durée de cette partie du trajet sera plus longue, allongeant ainsi la durée totale du trajet restant

Tournure similaire à (2), favorisant des alternatives faisant varier la distance entre le pont et la maison (ce qui est confirmé par ton "alors la durée de cette partie du trajet sera plus longue"). Non conforme à ton état de connaissance au moment décrit : tu connais déjà la longueur de cette partie du trajet, il est donc déraisonnable de considérer des alternatives la faisant varier.

En fait il y a une vraie raison à ça, mais je n'en avais pas tellement conscience sur le moment, même si je savais que quelque chose se jouait avec cette tournure. La seule distance que je connais à ce moment là, c'est la distance Pont-Maison, qui vaut 1,5 km. Mais c'est aussi la distance que je n'ai pas expérimenté. Et intuitivement, je me représente assez mal ce que représente concrètement 1,5 km. En revanche, je ne connais pas la valeur de la distance Pont-Écluse, mais on pourrait dire que je connais cette distance de manière empirique, et bien mieux que la distance Pont-Maison. C'est important car je crois que c'est un problème qui se base sur ce rapport entre informations subjectives et informations objectives. D'où ma phrase qui n'est peut-être pas, je le reconnais, mathématiquement très rigoureuse.
En revanche, comme on ne va pas pouvoir mathématiser grand chose en se basant sur un vécu subjectif, on peut remplacer ce vécu par la mesure d'une durée ce qui revient à peu près au même. Sauf que c'est peut-être la que se joue la différence entre les deux approches : tout s'explique parfaitement mathématiquement, mais empiriquement le résultat ne parait pas du tout naturel. Et je continue de penser que de ce point de vue, il y a bien quelque chose de vraiment paradoxal, à condition qu'on se pose bien la question au moment où elle est posée avec tous les éléments en main. J'y reviendrai.

Pour l'heure, mettons de côté les approximations empiriques et revenons à des choses quantifiables.

Dans ton dernier message, tu as bien fait de préciser l'importance de la présence de deux unités : les durées et les distances. Car c'est avec la cohabitation de ces deux unités qu'on se retrouve en réalité avec deux segments qui font chacun office à la fois de variable et de constante ce qui dans le cas présent ressemble déjà un paradoxe en soi. On peut schématiser ceci de la manière suivante, en réduisant cette fois l'espace à une seule dimension pour y voir plus clair :


On peut formuler la question de la manière suivante :
"Quelle valeur peut avoir la durée ME en fonction de la distance PE ?"

Je vais partir du résultat qu'on cherche à obtenir et remonter jusqu'à l'équation globale :
On notera "d" la distance et "t" la durée de chaque segment (pour les calculs, on exprimera cette durée en heures).
tME est donc la valeur qu'on cherche à connaître, et qui n'est autre que tMP + tPE
On connait déjà la valeur tPE (0,25 heures). Maintenant pour connaître la valeur tMP, il nous faut connaître la vitesse à laquelle on se déplace :
durée = distance / vitesse, donc tMP = dMP/vitesse (en km/h)
vitesse = distance / durée soit dPE/tPE (puisque la vitesse est constante).

Pour résumer on a donc :
tME = tMP + tPE
tME = tMP + 0,25
tME = dMP/(dPE/tPE) + 0,25
tME = 1,5/(dPE/0,25) + 0,25
tME(minutes) = tME*60 (oui on y verra plus clair si on repasse le tout en minutes à la fin )

Remettons nous dans le contexte. Je suis en train de me demander combien de temps je vais mettre à rentrer. Pour m'aider, deux âmes charitables me proposent de mesurer la distance entre le pont et l'écluse (dPE). Le premier mesure 1 km. Mais le deuxième obtient un tout autre résultat : 2 km. Alors que mes deux nouveaux comparses en viennent aux mains, chacun reprochant à l'autre d'avoir obtenu son diplôme de géomètre dans une pochette surprise, je peux de mon côté calculer deux durées possibles pour mon trajet total tME, d'après ces deux mesures.

EDIT : Je me suis trompé dans les "+ 0,25", c'est corrigé
Pour dPE = 1 (distance totale : 1,5 + 1 = 2,5 km)
tME = 1,5/(1/0,25) + 0,25
tME = 1,5/4 + 0,25
tME = 0,375 + 0,25
tME = 0,625 heures
Soit 0,4 * 60 = 37 minutes et 30 secondes pour aller jusqu'à la maison.

Pour dPE = 2 (distance totale : 1,5 + 2 = 3,5 km)
tME = 1,5/(2/0,25) + 0,25
tME = 1,5/8 + 0,25
tME = 0,1875 + 0,25
tME = 0,4375 heures
Soit 0,4375 * 60 = 25 minutes et 15 secondes pour aller jusqu'à la maison.

Diantre ! La plus longue de ces deux distances est celle qui aboutit au trajet le plus rapide !

Là dessus, je peux aller voir mes deux nouveaux amis et les interrompre dans leur pugilat pour leur affirmer la chose suivante, mathématiquement tout à fait viable : "Les gars, je ne sais pas lequel de vous deux à eu son diplôme de géomètre dans une pochette surprise, mais si plutôt que travailler chacun dans son coin, vous entrepreniez ensemble de me faire une mesure correcte, je pourrais vous dire que plus la distance mesurée sera grande, plus je pourrais me considérer proche de chez moi en terme de durée."

Eh bien on ne m'enlèvera pas de l'esprit que cette conclusion est hyper badass !

En voici l'illustration avec la fonction correspondante et les différentes valeurs :


Tout ça est presque aussi vrai dans la réalité que sur le papier, car il y a toutes les raisons de considérer que je me déplace à peu près à vitesse constante. Et pourtant, n'est ce pas complètement débile, si on se replace dans le contexte, de se dire à un instant "t" qu'un trajet de 3 km serait plus court qu'un trajet de 2 km ??

J'en reviens à ce que je disais au début : quand on fait l'expérience d'un trajet donné, sans chronomètre ni rien pour mesurer, il ne s'agit plus vraiment de distance ou de durée, les deux se mêlent dans une perception générale de ce trajet, l'espace et le temps sont vécues comme un tout, dont la confusion. De ce point de vue, il me semble que les deux solutions de énoncées au début, bien que contradictoires, se valent...




Il devrait faire beau demain ! J'irais bien me promener, moi

Soit la distance du trajet entre la maison et le pont : 1.5 km
Soit la durée du trajet entre le pont et l'écluse : 15 minutes (0.25 heures)
On a deux inconnues :
-la durée du trajet entre la maison et le pont (y)
-la distance entre le pont et l'écluse (x)
Pour le trajet entre le pont et la maison la vitesse sera : Vpont-maison= 1.5/y
Pour le trajet entre l'écluse et le pont la vitesse sera : Vécluse-pont= x/0.25=4x
Sachant que la vitesse est constante : Vpont-maison=Vécluse-pont
                                                             1.5/y=4x
                                                                  y=1.5/4x
                                                                  y=0.375/x
Plus la distance entre le pont et l'écluse (x) est élevée, plus la durée du trajet entre la maison et le pont (y) est faible.
Sachant que  la durée du trajet entre le pont et l'écluse est constante (0.25 heures), la durée du trajet entre l'écluse et la maison est égale à 0.25+y. Donc plus la distance entre le pont et l'écluse est élevée plus la durée du trajet entre l'écluse et la maison sera faible.

Ceci vient du fait que la distance variable alors que la durée est constante, ce qui induit une variation de la vitesse, plus la distance est élevée plus la vitesse le sera.
Si l'on a parcourus 0.5 kilomètres en 15 minutes, on a effectué ce trajet à une vitesse 2km/h
Si l'on a parcourus 1.5 kilomètres en 15 minutes, on a effectué ce trajet à une vitesse de 6km/h
Si l'on a parcourus 3 kilomètres en 15 minutes, on a effectué ce trajet à une vitesse de 12km/h
Plus la vitesse est élevée plus le temps nécessaire pour effectuer un trajet donné est faible.

Tout dépends de la vitesse à laquelle on marche, plus on marchera vite (plus la distance parcourue en 15 minutes sera élevée), moins on mettra de temps à rentrer!

Si on prend une personne marchant à vitesse constante de 6km/h, le retour lui prendra 30 minutes.
Si on multiplie par deux la distance entre le pont et l'écluse, la vitesse ne doit pas changer, c'est le temps du trajet qui doit être doublé, donc le retour lui prendra 45 minutes.
Plus la distance d'un trajet est grande, plus le temps pour effectuer ce parcours est élevé.

Salut touko16. Beau succès valoulef, ton énigme/paradoxe pousse des gens à s'inscrire pour y répondre !

Je voulais revenir sur ça :

Kitai a écrit:

Je ne proposerai pas de nouvelle explication ici, juste une reformulation du paradoxe (accompagnée de quelques simplifications)

Une de ces simplifications n'est pas des moindres : j'ai supposé qu'on connaissait la durée du trajet Pont-Écluse.
Mais, crucialement, avoir une durée constante (c-à-d connue) pour Pont-Écluse en plus d'une distance constante (c-à-d connue) pour Maison-Pont modifie les contraintes sur les valeurs que peut prendre la variable vitesse. Et c'est précisément ce que vous avez montré, valoulef et touko16.

Seulement au départ, comme le fait très justement remarquer valoulef :

valoulef a écrit:

En revanche, je ne connais pas la valeur de la distance Pont-Écluse, mais on pourrait dire que je connais cette distance de manière empirique, et bien mieux que la distance Pont-Maison. C'est important car je crois que c'est un problème qui se base sur ce rapport entre informations subjectives et informations objectives.

Autrement dit on ne peut pas chiffrer ces valeurs, contrairement à ce qu'on fait lorsqu'on imagine que la durée est de 30 minutes.

J'ai une certaine sympathie pour ta version du paradoxe valoulef (par contraste à la version simplifiée que j'en ai donné) dans la mesure où elle me semble reposer bien davantage sur les différentes contraintes que l'on pose (inconsciemment) dans les différentes situations alternatives qu'on considère à différentes étapes du raisonnement (ce que j'ai, maladroitement et en passant à côté de beaucoup d'aspects du problème, essayé de montrer dans mes premiers messages).

touko16 3 inconnues a écrit:

Si on reprend la formulation de touko16, on a maintenant 3 inconnues :
-la durée du trajet entre la maison et le pont (y)
-la distance entre le pont et l'écluse (x)
-la durée du trajet entre le pont et l'écluse (z)

Je reprends ses calculs en remplaçant 0.25 par z :

touko16 3 inconnues a écrit:

Pour le trajet entre le pont et la maison la vitesse sera : Vpont-maison= 1.5/y
Pour le trajet entre l'écluse et le pont la vitesse sera : Vécluse-pont= x/z
Sachant que la vitesse est constante : Vpont-maison=Vécluse-pont
                                                            1.5/y=x/z
                                                                 y=1.5/(x/z)
                                                                 y=1.5z/x

L'alternative proposée par valoulef est (1) x > 1.5 ou (2) x < 1.5.
Le problème c'est que ces options ne permettent pas de conclure. Bien sûr, pour tout x1 > 1.5, x2 < 1.5 et tout z on a 1.5z/x1 < 1.5z/x2 soit y1 < y2. On pourrait donc être tenté de conclure que le cas 2 est préférable.
Mais cette alternative est un cas particulier de l'alternative proposée par valoulef, car on vient en fait d'imaginer z constante dans les deux cas. C'est-à-dire qu'on a imaginé qu'on prendrait le même temps (z) dans les deux cas à parcourir le trajet Pont-Écluse, tout en prenant malgré tout un temps différent dans chaque cas (y1 vs. y2) à parcourir le trajet Pont-Maison. On a donc établi nos alternatives à partir d'une durée z constant, et donc fait varier la vitesse (à partir de x1 et x2).
Mais on pourrait très bien plutôt établir nos alternatives à partir d'une vitesse constante, à partir de la formule suivante : y+z=v*(1.5+x). Maintenant, pour tout x1 > 1.5, x2 < 1.5 et tout v on a v*(1.5+x1) > v*(1.5+x2) soit y1+z1 < y2+z2. C'est l'alternative que je pensais être "la bonne" dans ma première réponse.

En conclusion donc, je pense que le paradoxe provient du fait que tu cherches à établir une alternative en ne faisant varier qu'un seul paramètre (la distance Pont-Écluse) afin d'établir une inconnue (la durée totale du trajet). Cela-dit pour établir les deux cas de l'alternative tu es contraint de supposer constant au moins un autre paramètre qui permet de lier toutes ces valeurs entre elles : soit tu fixes une durée (et alors la vitesse ne varie plus qu'en fonction de la distance), soit tu fixes une vitesse (et alors la durée ne varie plus qu'en fonction de la distance). Mais tu ne peux pas fixer les deux en même temps (car la distance est exclusivement fonction de la vitesse et de la durée, et alors il n'y aurait plus d'alternative possible).
Finalement je pense que mes considérations plus linguistiques sur les formes conditionnelles ne pointent pas nécessairement la source du paradoxe mais plutôt comment la forme révèle parfois la façon de raisonner.

Kitai a écrit:

Beau succès valoulef, ton énigme/paradoxe pousse des gens à s'inscrire pour y répondre !

Tu as vu ça ? C'est dingue... Ça me donnerait presque la brousse... euh... la frousse !

touko16 a écrit:

Donc plus la distance entre le pont et l'écluse est élevée plus la durée du trajet entre l'écluse et la maison sera faible.

Ceci vient du fait que la distance variable alors que la durée est constante, ce qui induit une variation de la vitesse, plus la distance est élevée plus la vitesse le sera.
Si l'on a parcourus 0.5 kilomètres en 15 minutes, on a effectué ce trajet à une vitesse 2km/h
Si l'on a parcourus 1.5 kilomètres en 15 minutes, on a effectué ce trajet à une vitesse de 6km/h
Si l'on a parcourus 3 kilomètres en 15 minutes, on a effectué ce trajet à une vitesse de 12km/h
Plus la vitesse est élevée plus le temps nécessaire pour effectuer un trajet donné est faible.

Tout à fait, c'est bien de là que vient l' "inversion" entre la vitesse et la durée.

touko16 a écrit:

Si on prend une personne marchant à vitesse constante de 6km/h, le retour lui prendra 30 minutes.
Si on multiplie par deux la distance entre le pont et l'écluse, la vitesse ne doit pas changer, c'est le temps du trajet qui doit être doublé, donc le retour lui prendra 45 minutes.
Plus la distance d'un trajet est grande, plus le temps pour effectuer ce parcours est élevé.

Oui, en fait c'est un conflit entre deux approches, deux façons de raisonner différentes :

La première n'agit pas sur la réalité, elle ne tient compte que du raisonnement que l'on peut faire en fonction des informations qu'on nous donne, c'est pour ça que j'ai pris l'exemple des deux géomètres qui permet de bien orienter vers cette approche : la distance ne change pas c'est l'information de la distance pont-écluse qui nous permet de tirer des conclusions.

La deuxième approche entend étirer réellement la distance pont-écluse. On pourrait faire varier réellement cette distance en éloignant ou rapprochant l'écluse du pont par exemple. Et là, évidemment il n'y a pas de secret. Plus on va mettre l'écluse loin, plus le trajet sera long.

Pourtant dans les deux cas, la démarche mathématique est à peu près la même, on fait varier la même valeur, mais sans l'interpréter de la même manière. Dans la première approche on considère que cette distance, quelle que soit la valeur qu'on lui donne, à toujours été la même depuis le début, donc on la fait varier rétrospectivement en quelque sorte, alors que dans la deuxième approche on la fait varier uniquement à partir du moment ou on a franchi l'écluse, ce qui n'est pas pareil.

Kitai a écrit:

Finalement je pense que mes considérations plus linguistiques sur les formes conditionnelles ne pointent pas nécessairement la source du paradoxe mais plutôt comment la forme révèle parfois la façon de raisonner.

Je pense que tu y parviens assez bien, ta conclusion permet de rendre un peu plus concrètes mes remarques sur les différentes façons de percevoir intuitivement les durées et les distances.

On pourrait présenter le problème de différentes manières à mon avis. Je me suis déjà fait la remarque que certains le percevraient probablement différemment si à la place des kilomètres on utilisait une unité inconnue. Par exemple le "toukitai" (ça sonne bien, prononcé à la française ). Si on me dit que la distance pont-maison est de 1,5 toukitai, ça me fait une belle jambe vu que je ne connais pas cette unité. Par contre si on me dit que la distance écluse-pont fait 2 toukitai, vu que j'ai pu apprécier cette distance je peux en déduire à la louche la valeur du "toukitai", qui est plus court que si on m'avait dit que cette distance était de 1 toukitai. Pour faire plus simple, je peux dire que si la distance Pont-Ecluse vaut 1, alors la distance Pont-Maison est de 1,5 fois la distance Pont-Ecluse. Si la distance Pont-Ecluse vaut 3, alors la distance Pont-Maison vaut 0,5 fois la distance Pont-Ecluse. Et là, plus besoin de durée ni de vitesse.

Évidemment, la solution de l'énigme peut paraître plus ou moins inattendue selon la façon dont on la pose. Je verrai bien un NATD like basé là dessus

Je suis pas sûr de comprendre tous les détails de tes remarques valoulef, mais je suis pas sûr non plus d'être d'accord avec ce que j'en comprends.

On a considéré deux versions du paradoxe. Une première version où on connaît seulement la distance Pont-Maison, une seconde où l'on connaît en plus la durée Pont-Écluse. Les deux versions prennent la forme d'une alternative : (1) soit la distance Pont-Écluse est supérieure à la distance Pont-Maison, (2) soit c'est l'inverse.
Pour la deuxième version, il y a bien une solution unique : c'est dans le cas (2), où la distance Pont-Écluse est inférieure à la distance Pont-Maison, que tu mettras le plus de temps pour rentrer. L'alternative est incompatible avec une vitesse constante à travers les cas.
Pour la première version, il n'y a pas de solution unique car cette fois on peut en réalité construire deux alternatives : une basée sur une durée Pont-Écluse constante à travers les cas (on se retrouve alors dans la deuxième version du paradoxe), l'autre basée sur une vitesse constante à travers les cas et alors c'est dans le cas (1), où la distance Pont-Écluse est supérieure à la distance Pont-Maison, que tu mettras le plus de temps pour rentrer.

valoulef a écrit:

La première n'agit pas sur la réalité, elle ne tient compte que du raisonnement que l'on peut faire en fonction des informations qu'on nous donne

valoulef a écrit:

La deuxième approche entend étirer réellement la distance pont-écluse.

Dans tous ces scénarios on ne manipule pas plus ou moins "la réalité". On a des informations à notre disposition et on les garde constantes à travers les cas. Je ne suis pas d'accord quand tu dis :

valoulef a écrit:

On pourrait faire varier réellement cette distance en éloignant ou rapprochant l'écluse du pont par exemple. Et là, évidemment il n'y a pas de secret. Plus on va mettre l'écluse loin, plus le trajet sera long.

Dans la deuxième version du paradoxe justement (qui correspond dans la première version à l'alternative basée sur une durée constante donc), c'est bien lorsque l'écluse est proche que le trajet est long.

valoulef a écrit:

Dans la première approche on considère que cette distance, quelle que soit la valeur qu'on lui donne, à toujours été la même depuis le début, donc on la fait varier rétrospectivement en quelque sorte

Je suis vraiment pas sûr de comprendre ça. L'identité du paradoxe elle-même repose sur l'alternative qui fait varier la distance.
Est-ce qu'on pourrait dire que la distinction que tu proposes entre "manipulation de l'information" et "manipulation de la réalité" correspond en fait à "manipulation de la vitesse" (à durée constante) et "manipulation de la durée" (à vitesse constante) ?
Après tout, la vitesse me semble plus facilement perçue comme dérivée : le rapport entre la distance et la durée simplement données. Même si sous bien des angles cette distinction est arbitraire.

Je ne faisais que distinguer deux choses pour éviter toute erreur d'interprétation. Mais visiblement je n'ai fait que brouiller les pistes.

Kitai a écrit:

Est-ce qu'on pourrait dire que la distinction que tu proposes entre "manipulation de l'information" et "manipulation de la réalité" correspond en fait à "manipulation de la vitesse" (à durée constante) et "manipulation de la durée" (à vitesse constante) ?

En quelque sorte, reprenons :

touko16 a écrit:

Si on prend une personne marchant à vitesse constante de 6km/h, le retour lui prendra 30 minutes.
Si on multiplie par deux la distance entre le pont et l'écluse, la vitesse ne doit pas changer, c'est le temps du trajet qui doit être doublé, donc le retour lui prendra 45 minutes.
Plus la distance d'un trajet est grande, plus le temps pour effectuer ce parcours est élevé.

Si je fais ma promenade, que je traverse l'écluse, puis que je démonte l'écluse pour la reconstruire un peu plus loin, je fais réellement varier la distance entre le pont et l'écluse. À partir de ce moment, plus je vais reconstruire l'écluse loin du pont, plus je vais mettre de temps à rejoindre la maison (mais la distance pont-écluse ne sera plus la même qu'au début). C'est l'approche que touko16 semble sous-entendre ici en disant "si on multiplie par deux la distance".
Dans l'énoncé de base, ce n'est pas ça qu'il se passe, ce n'est que l'information indiquant cette distance qui varie (cf. les deux géomètres).

En soi cette distinction n'apporte pas grand chose, c'est simplement pour pointer les deux interprétations possibles de l'expression "faire varier la distance".

valoulef a écrit:

Si je fais ma promenade, que je traverse l'écluse, puis que je démonte l'écluse pour la reconstruire un peu plus loin, je fais réellement varier la distance entre le pont et l'écluse. À partir de ce moment, plus je vais reconstruire l'écluse loin du pont, plus je vais mettre de temps à rejoindre la maison (mais la distance pont-écluse ne sera plus la même qu'au début). C'est l'approche que touko16 semble sous-entendre ici en disant "si on multiplie par deux la distance".

Non je suis pas d'accord. Tu peux reconstruire l'écluse plus loin et marcher plus vite afin de prendre exactement le même temps à parcourir le nouveau trajet Pont-Écluse que tu en prenais pour parcourir l'ancien. Ce qui est important dans la remarque de touko16 c'est "la vitesse ne doit pas changer", qui indique qu'il considère une alternative basée sur une vitesse constante et non pas une durée constante.

valoulef a écrit:

Dans l'énoncé de base, ce n'est pas ça qu'il se passe, ce n'est que l'information indiquant cette distance qui varie (cf. les deux géomètres).

En soi cette distinction n'apporte pas grand chose, c'est simplement pour pointer les deux interprétations possibles de l'expression "faire varier la distance".

OK, je comprends que les deux scénarios que tu décris aboutissent à exactement la même alternative de deux façons différentes : dans chaque scénario tu imagines un cas 1 où la distance est courte et un cas 2 où la distance est longue. Qu'on imagine les deux cas comme correspondant à deux états successifs du même monde (scénario de la reconstruction) ou bien comme deux mondes possibles distincts (chacun correspondant aux croyances de chacun de tes géomètres) ne change pas la nature de ces cas : on a toujours un cas 1 où la distance est plus grande que dans le cas 2.

Simplement dans les faits, le fait de reconstruire l'écluse à un autre endroit n'a aucune raison de modifier ma vitesse de marche (si on continue de considérer qu'elle est constante depuis le début), alors que selon le scénario des géomètres, je déduirais deux vitesses de marche différentes selon les cas